题目

数列{an}满足Sn=2n﹣an（n∈N*）． （Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想． 　 答案：【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式；F1：归纳推理． 【分析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式； （Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明． 【解答】（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1． 当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以． 同理：，． 由此猜想… （Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立． ②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即， 那么n=k+1时，ak+1=sk+1﹣sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1， 所以2ak+1=2+ak，所以， 这表明n=k+1时，结论成立． 由①②知对一切n∈N*猜想成立．… 　

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