题目

如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的 边与y轴交于E点，F是 的中点，B、C、D的坐标分别为 . （1） 求过B、E、C三点的抛物线的解析式； （2） 试判断抛物线的顶点是否在直线 上； （3） 设过F与 平行的直线交y轴于Q，M是线段 之间的动点，射线 与抛物线交于另一点P，当 的面积最大时，求P的坐标. 答案： 解：∵平行四边形 ABCD ，B、C、D的坐标分别为 (−2,0),(8,0),(13,10) ∴A（3，10） 设直线AB的解析式为y=kx+b 则 {10=3k+b0=−2k+b ，解得 {k=2b=4 ∴直线AB的解析式为y=2x+4 当x=0时，y=4，则E的坐标为（0,4） 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c {0=a(−2)2+(−2)b+c0=82⋅a+8b+c4=c  ，解得 {a=−14b=32c=4 ∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为 y=−14x2+32x+4 解：顶点是在直线 EF 上，理由如下： ∵F是 AD 的中点 ∴F（8,10） 设直线EF的解析式为y=mx+n 则 {4=n10=8m+n ，解得 {m=34n=4 ∴直线EF的解析式为y= 34 x+4 ∵ y=−14x2+32x+4 ∴抛物线的顶点坐标为（3， 254 ） ∵ 254 = 34 ×3+4 ∴抛物线的顶点在直线 EF 上 解：∵ y=−14x2+32x+4=-14(x+2)(x−8) ，则设P点坐标为（p， -14(p+2)(p−8) ），直线BP的解析式为y=dx+e 则 {0=−2d+e-14(p+2)(p−8)=pd+e ，解得 {d=−14(p−8)e=12(p−8) ∴直线EF的解析式为y= −14(p−8) x+ 12(p−8) 当x=0时，y= 12(p−8) ，则M点坐标为（0， 12(p−8) ） ∵AB//FQ, ∴设FQ的解析式为y=2x+f，则10=2×8+f，解得f=-6 ∴FQ的解析式为y=2x-6, ∴Q的坐标为（0，-6） ∴|MQ|= 12(p−8) +6 ∴S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ = 12QM·OB+12QM·PN = 12QM(OB+PN) = 12[12(p−8)+6](2+p) = −14p2+92p+8 ∴当p=9时， △PBQ 的面积最大时 ∴P点坐标为（9， −114 ）

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