题目

已知函数f(x)=Inx，g(x)=. (1)当a=-2时，函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数，若函数，求函数的最小值； (2)设函数f(x)的图象与函数g(x)的图象交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线，分别交、于点M、N，则是否存在点R，使在点M处的切线与在点N处的切线平行？若存在，求出点R的横坐标；若不存在，请说明理由。 答案：解：（1）题意h(x)=Inx+x2-bx.         在其定义域（0，+）是增函数  在（0，+）上恒成立  在（0，+）上恒成立   ，当且仅当=2x，即x= 时等号成立 b的取值范围为（-，]  2分 设t=,则函数(x)可化为y=t2+bt , t,即y=（t+）2-, 当 即-2时，函数y=t2+bt在[1，2]上为增函数，当t=1时，函数y=t2+bt取得最小值，且，当1<<2，即-4<b<-2时，当t=时，函数y=t2+bt取得最小值，且 。 当2，即b-4时，函数y=t2+bt在[1,2]上为减函数，当t=2时，函数y=t2+bt取得最小值，且。 综上所述，当 时，(x)的最小值为b+1 ； 当-4<b<-2时，(x)的最小值为 ；   当b-4时，(x)的最小值为4+2b.  (6分) （2）设点P、Q的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），且0<x1<x2， 则点M、N的横坐标均为x= 曲线C1在点M处的切线的斜率 ， 曲线C2在点N处的切线的斜率 假设曲线C1在点M处的切线与曲线C2在点N处的切线平行，则k1=k2, 即          则 =g(x2)-g(x1)=f(x2)-f(x1)=Inx2-Inx1=In         (9分) 设 则       ①， 令     则       r(u)在(1,+)上单调递增，故r(u)>0, 则 ，        这与①矛盾，故假设不成立， 故不存在点R,使曲线C1在点M处的切线与曲线C2在点N处的切线平行。 

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