题目

在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，左、右顶点分别为 、 ，线段 的长为4.点 在椭圆 上且位于第一象限，过点 ， 分别作 ， ，直线 ， 交于点 . （1） 若点 的横坐标为-1，求点 的坐标； （2） 直线 与椭圆 的另一交点为 ，且 ，求 的取值范围． 答案： 解：设直线 AP 的斜率为 k ， P(x0,y0) ， 由题意得 2a=4 ， ca=12 ， 所以 a=2 ， c=1 ， b=3 ， 所以椭圆 M 的方程为 x24+y23=1 . 因为点 P 在椭圆 M 上，且位于第一象限， 所以 0<k<32 ， x024+y023=1 ，直线 AP 的方程为 y=k(x+2) . 因为 kAP⋅kBP=y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−4=−34 ， 所以 kBP=−34k ， 所以直线 BP 的方程为 y=−34k(x−2) . 联立 {y=k(x+2)y=−34k(x−2)  ，解得 {x=6−8k24k2+3y=12k4k2+3  ， 即 P(6−8k24k2+3,12k4k2+3) . 因为 l1⊥PA ，所以 kAC=−1k ， 则直线 AC 的方程为 y=−1k(x+2) . 因为 l2⊥PB ，所以 kBC=43k . 则直线 BC 的方程为 y=43k(x−2) . 联立 {y=−1k(x+2)y=43k(x−2)  ，解得 {x=8k2−64k2+3y=−16k4k2+3  ， 即 C(8k2−64k2+3,−16k4k2+3) . 因为点 C 的横坐标为-1， 所以 8k2−64k2+3=−1 ，解得 k=±12 . 因为 0<k<32 ， 所以 k=12 .将 k=12 代入 P(6−8k24k2+3,12k4k2+3) 可得， 点 P 的坐标为 (1,32) . 解：设 Q(xQ,yQ) ， C(xC,yC) ，又直线 AC 的方程为 y=−1k(x+2) . 联立 {y=−1k(x+2)x24+y23=1  消去 y ，整理得 (3k2+4)x2+16x+16−12k2=0 ， 所以 −2xQ=16−12k23k2+4 ， 解得 xQ=6k2−83k2+4 . 因为 AC⇀=λAQ⇀ ， 所以 λ=xC+2xQ+2=8k2−64k2+3+26k2−83k2+4+2   =16k2(3k2+4)12k2(4k2+3)=1+712k2+9 . 因为 0<k<32 ， 所以 λ∈(2518,169) .

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