题目

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s； （1） 当t为何值时，△APQ与△ABC相似？ （2） 当t为何值时，△APQ为等腰三角形？ 答案： 解：∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC= AB2+BC2 =5，∵∠A=∠A，∴当 AQAC = APAB 时，△AQP∽△ACB，即 2t5 = 3−t3 ，解得t= 1511 （s）；当 AQAB = APAC ，△AQP∽△ABC，即 2t3 = 3−t5 ，解得t= 913 （s）；∴当t为 1511 s或 913 s时，△APQ与△ABC相似 解：当AQ=AP时，2t=3﹣t，解得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t，∵∠MAP=∠BAC，∴△AMP∽△ABC，∴ AMAB = APAC ，即 t3 = 3−t5 ，解得t= 98 （s）；当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN= 12 （3﹣t），QN∥BC，∴△ANQ∽△ABC，∴ AQAC = ANAB ，即 2t5 = 12(3−t)3 ，解得t= 1517 （s），∴当t为1s或 98 s或 1517 s，△APQ为等腰三角形．

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