题目

如图，△ABC中，∠B=90°，tan∠BAC= ，半径为2的⊙O从点A开始（图1），沿AB向右滚动，滚动时始终与AB相切（切点为D）；当圆心O落在AC上时滚动停止，此时⊙O与BC相切于点E（图2）．作OG⊥AC于点G． （1） 利用图2，求cos∠BAC的值； （2） 当点D与点A重合时（如图1），求OG； （3） 如图3，在⊙O滚动过程中，设AD=x，请用含x的代数式表示OG，并写出x的取值范围． 答案： 解：如图2，连接OD，∵⊙O与AB相切，∴OD⊥AB，∵tan∠BAC= 12 ，OD=2，∴AD=4，OA= 25 ，∴cos∠BAC= ADOA = 255 解：如图1，连接OA，∵⊙O与AB相切，∴OA⊥AB，又∵OG⊥AC，∴∠AOG=90°﹣∠OAG=∠BAC，∴cos∠AOG=cos∠BAC= 255 .∵cos∠AOG= OGOA ，∴OG=OA•cos∠AOG=2× 255 = 455 解：如图3，连接OD交AC于点F，∵⊙O与AB相切，∴OD⊥AB，∴∠FOG=90°﹣∠OFG，又∵OG⊥AC，∴∠BAC=90°﹣∠AFD，又∵∠OFG=∠AFD，∴∠FOG=∠BAC，∵tan∠BAC= FDAD ，∴FD=AD•tan∠BAC= 12 x，∴OF=2﹣ 12 x，∵cos∠BAC=cos∠FOG= OGOF ，∴OG=OF•cos∠FOG= 255 （2﹣ 12 x）=﹣ 55 x+ 455 ，x的取值范围是：0≤x≤4

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