题目

如图，已知四边形 为菱形，对角线 与 相交于O， ，平面 平面 直线 ， 平面 ， （1） 求证： ； （2） 求二面角 的余弦值． 答案： 证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AD//BC ， ∵AD⊄ 平面 BCEF ， BC⊂ 平面 BCEF ∴AD// 平面 BCEF ， 因为平面 ADEF∩ 平面 BCEF= 直线 EF,AD⊂ 平面 ADEF ， 所以 EF//AD ； 解：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ⊥BD ， 因为 OF⊥ 平面 ABCD ，所以以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 取CD中点M，连EM，OM， ∵∠BAD=60° ， BC=2∴OA=OC=3,OB=OD=1 ， ∵BC=CD=CE=DE=2∴△CDE 为正三角形， EM=3 ， ∵OM//BC,OM=12BC,EF//BC,EF=12BC ， ∴EF//OM,EF=OM∴OF//EM,OF=EM ， 从而 A(3,0,0),B(0,1,0),C(−3,0,0),D(0,−1,0),E(−32,−12,3) ， 设平面 ADEF 一个法向量为 m→=(x,y,z) ， 则 {m⇀⋅DA⇀=0m⇀⋅DE⇀=0 ，即 {3x+y=0−32x+12y+3z=0 ， 令 x=1∴y=−3,z=1,m→=(1,−3,1) ， 设平面 BCEF 一个法向量为 n→=(x,y,z) ， 则 {n⇀⋅BC⇀=0n⇀⋅EC⇀=0 ，即 {−3x−y=0−32x+12y−3z=0 ， 令 x=1∴y=−3,z=−1,n→=(1,−3,−1) ， ∴cos<m→,n→>=m→⋅n→|m→||,n→|=35 ， 因此二面角 A−EF−B 的余弦值为 35 .

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