题目

如图，直线 过 轴上一点 ，且与抛物线 相交于 两点， 点坐标为 . （1） 求直线 和抛物线的函数解析式. （2） 若抛物线上有一点 使得 ，求 点坐标. （3） 在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：设直线 l 的解析式为 y=kx+b ，把 A(2,0) ， C(−2,4) 代入得， {2k+b=0−2k+b=4 解得 {k=−1b=2 ， 所以直线 l 的解析式为 y=−x+2 ； 把 C(−2,4) 代入 y=ax2 得 a=1 ， 所以抛物线解析式为 y=x2 解：依题意得： {y=−x+2y=x2 ， 解得 {x=−2y=4 或 {x=1y=1 ， 即直线 y=−x+2 与抛物线 y=x2 的两个交点的坐标是 C(−2,4) 、 B(1,1) . S△COB=S△COA−S△AOB=12×2×4−12×2×1=3 . 设 D(t,t2) ， ∵ S△AOD=S△COB ， ∴ 12⋅2⋅t2=3 ， 解得 t=3 或 t=−3 （舍去）， ∴ D(3,3) 或 (−3,3) . 解：∵ C(−2,4) ， ∴OC= 22+42=20=25 ①当OP=OC时，OP= 25 , ∴ P1(−25,0) , P2(25,0) ; ②当OC=PC时， 点C在OP的垂直平分线上， ∴OP=4 ∴ P3(−4,0) ③当PC=PO时， 点P在OC的垂直平分线上， 易得直线OC:y=-2x 设OC中点为点D，则D(-1,2), 易得直线PD: y=12x+52 令y=0,得x=-5 ∴ P4(−5,0) 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为： P1(−25,0) ， P2(25,0) ， P3(−4,0) ， P4(−5,0) .

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