题目

已知为实数，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若 ， 求在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在和上都是递增的，求的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．（Ⅱ）由f'（﹣1）=0得a=12，此时有f(x)=(x2−4)(x−12)，f′(x)=3x2−x−4．由f'（x）=0得x=43或x=﹣1，又f(43)=−5027，f(−1)=92，f(−2)=0，f(2)=0，所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为92，最小值为−5027．（Ⅲ）解法一：f'（x）=3x2﹣2ax﹣4的图象为开口向上且过点（0，﹣4）的抛物线，由条件得f'（﹣2）≥0，f'（2）≥0，∴﹣2≤a≤2．所以a的取值范围为[﹣2，2]．解法二：令f'（x）=0即3x2﹣2ax﹣4=0，由求根公式得：x1，x2=a±a2+123(x1<x2)所以f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．在（﹣∞，x1]和[x2，+∞）上非负．由题意可知，当x≤﹣2或x≥2时，f'（x）≥0，从而x1≥﹣2，x2≤2，即{a2+12≤6−aa2+12≤a+6解不等式组得﹣2≤a≤2．∴a的取值范围是[﹣2，2]．

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