题目

已知数列｛an｝的前n项和Sn=1+++…+，并记f(n)=S2n+1-Sn+1. (1)证明：f(n+1)＞f(n)；(2)试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，f(n)＞［logm(m-1)］2-［log(m-1)m］2恒成立. 答案：提示：（1）f（n）=S2n+1-Sn+1=∵f（n+1）-f（n）=()-()=＞0，故f（n+1）＞f（n）.（2）要使f（n）＞［logm（m-1）］2-［log（m-1）m］2恒成立，也就是使f（n）min＞［logm（m-1）］2-［log（m-1）m］2，因此需先求f（n）min.由(1)知f（n）单调递增，故f（n）min=f（2）=.于是需解不等式＞［logm（m-1）］2-［log（m-1）m］2，令x=logm（m-1），其中m＞1,且m≠2＞x2-·1x220x4-9x2-11＜0（20x2+11）（x2-1）＜0x2-1＜0-1＜x＜1-1＜logm（m-1）＜1＜m＜2,或m＞2.

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