题目

如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道AB，圆心为O1的竖直半圆轨道BCD、圆心为O2的竖直半圆管道DEF，倾斜直轨道FG及弹性板等组成，轨道各部分平滑连接。已知滑块质量m=0.02kg（可视为质点），轨道BCD的半径R=0.9m，管道DEF的半径r=0.1m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ=0.75，其余各部分轨道均光滑，轨道FG的长度l=1m，倾角θ=37°，弹射器中弹簧的弹性势能最大值Epm=1J，滑块与弹簧作用后，弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，滑块与弹性板作用后以等大速率弹回。（sin37°=0.6，cos37°=0.8） （1） 在某次游戏中滑块第1次运动到与O1等高的C点时的速度v1=2m/s，求弹簧的弹性势能Ep； （2） 要使滑块不脱离轨道，求滑块第1次经过管道DEF的最高点F时对轨道的弹力FN至少多大； （3） 若滑块在运动过程中不脱离轨道且最终停在轨道FG上，求弹簧的弹性势能Ep的取值范围。 答案： 解：根据能量守恒，有Ep=12mv12+mgR=0.22J 解：当恰好过D点时，有mg=mvD2R得vD=gR=3m/s在D—F的过程中，有−2mgr=12mvF2−12mvD2在F点，有FN+mg=mvF2r得FN=0.8N根据牛顿第三定律，有FN'=FN=0.8N 解：当小球刚好过D点到达F点，在这一过程中，有−2mgr=12mvF2−12mvD2其中mg=mvD2R得vF=5m/s在F点时，有EpF=12mvF2+mg(2R+2r)=0.45J由于μmgcos37°=mgsin37°故滑块只要有速度与弹性板碰后等速反弹均会匀速下滑，故滑块只能是上升过程中停止。①假设第一次上升停止，考虑恰好在碰到弹性板前停止，有−μmgcos37°×l−mgsin37°×l=0−12mvF12得12mvF12=0.24J根据能量守恒，得12mvF2+mg(2R+2r)≤Ep1≤12mvF12+mg(2R+2r)即0.45J≤Ep1≤0.64J②假设第二次上升停止，考虑恰好在碰到弹性板前停止，考虑第一次上升下降滑动摩擦力做功为Wf=2μmgcos37°×l=0.24J而且返回过程要保证不能在D点脱离轨道，则在 ①情况下下限和上限均加上Wf，得0.69J≤Ep2≤0.88J③假设第三次上升停止，考虑恰好在碰到弹性板前停止，同时Epm=1J同理可得0.93J≤Ep2≤1J

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