题目

阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系小颖同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小颖同学的思路，探究并解决下列问题： （1） 请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系； （2） 将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题申的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明， 答案： 解：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC．理由：延长GP，交CD于点H，∵四边形ABCD与四边形BEFG是菱形，∴CD∥AB∥GF，∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，∵P是线段DF的中点，∴DP=PF，在△DPH和△FGP中， {∠PDH=∠PFD∠DHP=∠PGFDP=PF ，∴△DPH≌△FGP（AAS），∴PH=PG，DH=GF，∵CD=BC，GF=GB=DH，∴CH=CG，∴CP⊥HG，即PG⊥PC 猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，∵AD∥FG，∴∠GFP=∠HDP．又∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，∴∠GBC=60°．∴∠HDC=∠GBC．∵四边形BEFG是菱形，∴GF=GB．∵△HDC≌△GBC．∴CH=CG．∴PH=PG，PG⊥PC．

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