题目

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a。将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD。 （1） 证明：△COD是等边三角形； （2） 当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由 （3） 探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形? 答案： 证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转 60∘  得△ADC， ∴CO=CD，∠OCD= 60∘  ，   ∴△COD是等边三角形 当 α=150∘  时，△AOD是直角三角形. 理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60 ∘ 得△ADC， ∴△BOC≌△ADC，     ∴∠ADC=∠BOC=150∘，   又∵△COD是等边三角形，  ∴∠ODC= 60∘  ，  ∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=90∘， ∵∠α=150∘,∠AOB=110∘,∠COD=60∘， ∴∠AOD=360∘−∠α−∠AOB−∠COD=360∘−150∘−110∘−60∘=40∘， ∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形 ①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∵∠AOD=360∘−110∘−60∘−α=190∘−α,∠ADO=α−60∘，   ∴190∘−α=α−60∘，       ∴α=125∘；   ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO. ∵∠OAD=180∘−(∠AOD+∠ADO)=180∘−(190∘−α+α−60∘)=50∘.   ∴α−60∘=50∘，       ∴α=110∘；   ③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD. ∵∠AOD=360∘−110∘−60∘−α=190∘−α，   ∠OAD=180∘−(α−60∘)2=120∘−α2，   ∴190∘−α=120∘−α2，     解得 α=140∘. 综上所述：当α的度数为 125∘ 或 110∘ 或 140∘ 时，△AOD是等腰三角形 

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