题目

空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染． 一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图． （Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天） （Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望． 答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数． （2）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望． 【解答】解：（1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2， 空气质量良的天数为4， ∴该样本中空气质量优良的频率为， 从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18． （2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， 且ξ～B（3，）， P（ξ=0）=（）3=， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， P（ξ=3）=（）3=， ∴ξ的分布列为：  ξ  0  1 2  3  P ∴Eξ=3×=1.8． 【点评】本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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