题目

已知二次函数 . （1） 若 是 的两个不同零点,是否存在实数 ,使 成立?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由. （2） 设 ,函数 ,存在 个零点. (i)求 的取值范围; (ii)设 分别是这 个零点中的最小值与最大值,求 的最大值. 答案： 解：依题意可知, k≠0 .假设存在实数 k ,使 (2x1+x2)(x1+2x2)=114 成立. 因为 f(x) 有两个不同零点，. 所以 Δ=16k2− 16k(k+1)=− 16k>0 ,解得 k<0 . 由韦达定理得 x1+x2=1,x1x2=k+14k 所以 (2x1+x2)(x1+ 2x2)=2(x1+x2)2+x1x2=2+k+14k =9k+14k=114 解得 k=12 ,而 k<0 ,故不存在. 解：因为 k=−1 ,设 h(x)=g(x)+t ,则 h(x)={−4x2−4x,x<0,4x2−8x,x≥0 , 当 x<0 时, h(x)=−4(x+12)2+1≤1 ;当 x≥0 时, h(x)=4(x−1)2−4≥−4 . (i)作出函数 h(x) 的图象，如图所示,所以 -4<t<1 .  (ii)设直线 y=t(−4<t<1) 与此图象的最左边和最右边的交点分别为 A,B . 由 −4x2−4x=t ,得 m=xA=−1−1−t2 由 4x2−8x=t ,得 n=xB=2+4+t2 所以 n−m=xB− xA=3+1−t+4+t2 因为 (1−t+4+t)2=5+2−(t+32)2+254 ≤5+2254=10 ， 所以当 t=−32 时， 1−t+ 4+t 取得最大值 10 . 故 n−m 的最大值为 3+102 .

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