题目

如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．点P在直线CD上运动(点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上)，若记∠DAP，∠APB，∠PBC分别为∠α，∠β，∠γ。 （1） 如图1，当点P在线段CD上运动时，写出∠α，∠β，∠γ之间的关系并说出理由； （2） 如图2，如果点P在线段CD的延长线上运动，探究∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由。 （3） 如图3，BI平分∠PBC，AI交BI于点I，交BP于点K，且∠PAI：∠DAI=5：1，∠APB=20°，∠I=30°，求∠PAI的度数。 答案： 解：∠β=∠α+∠γ． 理由如下：过点P作PE∥AD，如图1 ，   ∵PE∥AD，∴∠α=∠APE，∵AD∥BC， ∴PE∥BC，∴∠γ=∠BPE，∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ； 解：当点P运动到直线AB左侧时，∠β=∠γ﹣∠α； 当点P运动到直线AB右侧时，∠β=∠α﹣∠γ． 如图2， 当点P运动到直线AB左侧时∵AD∥BC，∴∠PBC=∠1，而∠1=∠PAD+∠APB，∴∠APB=∠PBC﹣∠PAD，即∠β=∠γ﹣∠α． 当点P运动到直线AB右侧时∵AD∥BC，∴∠PBC=∠2，而∠PAD=∠2 +∠APB，∴∠APB=∠PAD﹣∠PBC，即∠β=∠α﹣∠γ． 解：如图，点P在∠PAI=50°．∵BI平分∠ABC，∴可设∠PBI=∠CBI=x，则∠CBP=2x，∵AD∥BC，∴∠DHP=∠CBP=2x，∵∠APB=20°，∠I=30°，∠BKI=∠AKP，∴∠PAI=x+30°﹣20°=x+10°， ∴∠DHP=∠CBP=2x，∵∠APB=20°，∠I=30°，∠BKI=∠AKP，∴∠PAI+∠APH=∠KBI+∠I∴∠PAI=∠KBI+∠I-∠APH=x+30°﹣20°=x+10°，又∵∠PAI：∠DAI =5：1，∴∠DAI= 15 ∠PAI= 15 x+2°，∵∠DHP是△APH的外角，∴∠DHP=∠PAH+∠APB，即2x= 15 x+2°+x+10°+20°，解得x=40°，∴∠PAI=40°+10°=50°．

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