题目

如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线分别相切于C、D两点． （Ⅰ）求圆M和圆N的方程； （Ⅱ）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 答案：解：（Ⅰ）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线． ∵M的坐标为(，1)，∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1， 设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA、NC， 由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC， 即＝⇒r＝3，则OC＝3， 故⊙N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.                        ……6分 （Ⅱ）由对称性可知，所求的弦长等于点过A的直线MN的平行线被⊙N截得的弦长，此弦的方程是y＝(x－)，即x－y－＝0， 圆心N到该直线的距离d＝，则弦长为2＝.        ……12分

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