题目

如图，甲、乙两个企业的用电负荷量 关于投产持续时间 （单位：小时）的关系 均近似地满足函数 ． （1） 根据图象，求函数 的解析式； （2） 为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过 ，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟 小时投产，求 的最小值． 答案： 解：由图象可得： {A+b=2.5−A+b=1.5 ， 解得 A=12，b=2 周期 T=12 ， ∴ω=2π12=π6 ， ∴f(t)=12sin(π6t+φ)+2 ， 又 ∵ 过点 (0，2.5) ， ∴sinφ=1，  且 0<φ<π ， ∴φ=π2 ， ∴f(t)=12sin(π6t+π2)+2(t≥0) 解：设乙投产持续时间为 t 小时，则甲的投产持续时间为（ t+m ）小时 由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间 t 变化的关系式为： f(t)=12cosπ6t+2 ； 同理，企业甲用电负荷量变化关系式为： f(t+m)=12cosπ6(t+m)+2 ； 两企业用电负荷量之和 f(t+m)+f(t)=12[cosπ6(t+m)+cosπ6t]+4(t≥0) ； 依题意，有 f(t+m)+f(t)=12[cosπ6(t+m)+cosπ6t]+4≤92 恒成立， 即 cosπ6(t+m)+cosπ6t≤1 恒成立， 展开有： (cosπ6m+1)cosπ6t−sinπ6msinπ6t≤1 恒成立， ∵(cosπ6m+1)cosπ6t−sinπ6msinπ6t=(cosπ6m+1)2+sin2π6mcos(π6t+ϕ) （其 cosϕ=cosπ6m+1(cosπ6m+1)2+sin2π6m；sinϕ=sinπ6m(cosπ6m+1)2+sin2π6m ）； ∴(cosπ6m+1)2+sin2π6m≤1 ， 整理得到： cosπ6m≤−12 ， 依据余弦函数图象得： 2π3+2kπ≤π6m≤4π3+2kπ，(k∈Z) ， 即 12k+4≤m≤12+8 ，取 k=0 得： 4≤m≤8 ∴ m 的最小值为4．

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