题目

对于在区间 上有意义的两个函数 与 ，如果对任意的 ．均有 ，则称 与 在 上是接近的，否则称 与 在 上是非接近的．现有两个函数 与 且 ，给定区间 ， （1） 若 与 在区间 上都有意义，求 的取值范围： （2） 在 的条件下，讨论 与 在区间 上是否是接近的 答案： 解：若 f1(x) 与 f2(x) 在区间 [a+1,a+2] 上都有意义,则 {a+1−2a>0a+2−2a>01a+1−a>01a+2−a>0 ,即 0<a<1 解：设 m(x)=f1(x)−f2(x)=loga(x−2a)−loga1x−a=loga(x−2a)(x−a) , 对于函数 t=(x−2a)(x−a) 而言,显然在 (−∞,3a2] 上递减,在 [3a2,+∞) 上递增,且 y=logat 在其定义域内为减函数, 若 f1(x) 与 f2(x) 在区间 [a+1,a+2] 是接近的,则 |m(x)|≤1 , 即 |loga(x−2a)−loga1x−a|=|loga(x−2a)(x−a)|≤1 ,可得 a≤(x−a)(x−2a)≤1a , 因为 0<a<1 ,则 3a2<2a<a+1<a+2 , 所以 t=(x−2a)(x−a) 在 [a+1,a+2] 上单调递增, 则 tmax=(a+2−2a)(a+2−a)=4−2a , tmin=(a+1−2a)(a+1−a)=1−a , 所以需满足 {1−a≥a4−2a≤1a ,解得 0<a≤2−22 , 所以当 0<a≤2−22 时, f1(x) 与 f2(x) 在区间 [a+1,a+2] 上是接近的； 当 2−22<a<1 时, f1(x) 与 f2(x) 在区间 [a+1,a+2] 上是不接近的

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