题目

设定义在［x1,x2］上的函数y=f(x)的图象为C,C的端点为点A、B,M是C上的任意一点,向量=(x1,y1),=(x2,y2),=(x,y),若x=λx1+(1-λ)x2,记向量=λ+(1-λ).现在定义“函数y=f(x)在［x1,x2］上可在标准k下线性近似”是指||≤k恒成立,其中k是一个人为确定的正数.(1)证明0≤λ≤1;(2)请你给出一个标准k的范围,使得［0,1］上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似. 答案：解:(1)证明:由题意,x1≤x≤x2,即x1≤λx1+(1-λ)x2≤x2,∴x1-x2≤(x1-x2)λ≤0.∵x1-x2＜0,∴0≤λ≤1. (2)由=λ+(1-λ)得到=λ,∴B、N、A三点在一条直线上.又由(1)的结论,N在线段AB上且与点M的横坐标相同,对于［0,1］上的函数y=x2,A(0,0),B(1,1),则有||=x-x2=-(x)2,故||∈［0,］; 对于［0,1］上的函数y=x3,则有||=x-x3=g(x),在(0,1)上,g′(x)=1-3x2,可知在(0,1)上y=g(x)只有一个极大值点x=,∴函数y=g(x)在(0,)上是增函数;在(,1)上是减函数.又g()=,故||∈［0,］. 经过比较,＜,∴取k∈［,),则有函数y=x2在［0,1］上可在标准k下线性近似,函数y=x3在［0,1］上不可在标准k下线性近似.

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