题目

如图，已知线段MN＝4，点A在线段MN上，且AM＝1，点B为线段AN上的一个动点.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，旋转角分别为α和β.若旋转后M、N两点重合成一点C（即构成△ABC），设AB＝x. （1） △ABC的周长为； （2） 若α+β＝270°，求x的值； （3） 试探究△ABC是否可能为等腰三角形？若可能，求出x的值；若不可能，请说明理由. 答案： 【1】4 解： ∵∠MAC=α,∠NBC=β,α+β=270°, ∴∠MAC+∠NBC=270°，   ∴∠CAB+∠CBA=360°−270°=90°，   ∴∠ACB=90°, ∵AM=1,AB=x,MN=4,   ∴AC=1,BC=BN=3−x,   由勾股定理得： x2=12+(3−x)2, ∴6x=10,   ∴x=53. 解：存在，理由如下： ∵AC=1,△ABC 为等腰三角形， ∴  当 AC=BC=1 时，则 AB=2, 此时 1+1=2, △ABC 不存在，舍去， 当 AB=AC=1 时， 同理不合题意，舍去， 当 BC=BA 时， ∵AC=1,AB+AC+BC=4,   ∴AB+BC=3,   ∴AB=BC=1.5,   此时 1+1.5 ＞ 1.5, 符合题意； 所以 △ABC 能为等腰三角形，此时 AB=x=1.5.

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