题目

我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题． （1） 如图一，在等腰中， ， 边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明： ． （2） 如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若 ， ， 求的长． （3） 如图三，在四边形中，E为线段上的一点， ， ， 连接 ， 且 ， ， ， ， 求的长． 答案： 证明：连接AD，如图所示：∵在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上有一点D，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，∴由SΔABC=SΔABD+SΔACD得12AB⋅CG=12AB⋅ED+12AC⋅FD，∴DE+DF=CG； 解：连接CG，过点F作FH⊥BC于H，如图所示：根据折叠可知∠AFE=∠CFE，在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠AFE=∠FEC，∴∠CFE=∠FEC，即ΔEFC是等腰三角形，在等腰ΔEFC中，FC=EC，EF边上有一点G，过点G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N，过点F作FH⊥BC于H，由（1）可得GM+GN=FH，在RtΔABE中，∠B=90°，BE=3，AE=EC=BC−BE=8−3=5，则AB=AE2−BE2=52−32=4，在四边形ABHF中，∠B=∠BAF=∠FHB=90°，则四边形ABHF为矩形，∴FH=AB=4，即GM+GN=FH=AB=4； 解：延长BA、CD交于F，连接EF，过点B作BG⊥FC于G，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EA⊥AB，ED⊥CD，则∠BAE=∠CDE=90°，又∵ABCD=AEDE，∴ΔABE∼ΔDCE，∴∠ABE=∠C，即ΔABC是等腰三角形，∴由（1）可得ED+EA=BG，设GD=x，∵∠EDC=∠BGC=90°，BC=51，CD=3，在RtΔBCG中，BG=BC2−CG2=(51)2−(3+x)2，在RtΔBDG中，BD=6，BG=BD2−DG2=62−x2，∴(51)2−(3+x)2=BG=62−x2，解得x=1，∴BG=62−12=35，即ED+EA=BG=35．

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