题目

．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x﹣3经过坐标轴上A，B，C三点，动点P在抛物线上． （1）求证：OA=OC； （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，直接写出△DEF外接圆的最小面积． 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点的坐标，可得答案； （2）①以A为直角顶点时，根据根据等腰三角形的性质，可得∠2的度数，∠3的度数，根据对顶角的性质，可得∠4的度数，根据等腰直角三角形的性质，可得P1H1=H1G，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当C为直角顶点时，根据角的和差，可得∠P2CH2=45°，根据等腰直角三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据矩形的性质，可得OD与EF的关系，根据垂线段的性质，可得OD的长，根据圆的面积公式． 【解答】（1）证明：由抛物线y=x2+2x﹣3 令y=0，则x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1， 所以A（﹣3，0），即OA=3； 令x=0，则y=﹣3， 所以C（0，﹣3），即OC=3； 所以OA=OC；              （2）解：①当A为直角顶点时，过点A作AP1⊥AC，交抛物线于点P1，交y轴于点G，过P1作P1H1⊥y轴于点H1，如图1所示， 由（1）OA=OC，∠AOC=90° ∴△AOC为等腰直角三角形， ∴∠1=∠2=45°． ∵∠P1AC=90°， ∴∠P1AO=45°，∠3=45°， ∴∠4=∠3=45°， ∴∠H1P1G=45° △AOG，△P1H1G为等腰直角三角形 即OA=OG=3，P1H1=H1G， 设P1（a，a2+2a﹣3） 则 a=a2+2a﹣3﹣3， 解得a1=2，a2=﹣3（舍） 此时a2+2a﹣3=5 所以P1坐标是（2，5）； ②当C为直角顶点时，过点C作CP2⊥AC，交抛物线于点P2，过P2作P2H2⊥y轴于点H2，如图2所示， ∵∠1=45°，∠P2CA=90°， ∴∠P2CH2=45°． ∵∠P2H2C=90°， ∴△P2H2C为等腰直角三角形． 即P2H2=H2C 设P2（a，a2+2a﹣3） 则﹣a=﹣a2﹣2a+3﹣3， 解得a1=﹣1，a2=0（舍去）， 此时a2+2a﹣3=﹣4 所以P2坐标是（﹣1，﹣4） 综上所述，点P坐标是（2，5）或（﹣1，﹣4）． （3）△DEF的外接圆面积最小等于． 如图3所示， 因为△DEF为直角三角形，则它外接圆的直径为线段EF，要使圆的面积最小，则直径EF必须取最小值， 又因为EF与OD是矩形OEDF的对角线，所以EF=OD． 因为点到线的距离，垂线段最短，得 OD最小值=， 故EF=时，△DEF的外接圆面积最小，得 π（）2=， △DEF的外接圆面积最小等于． 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系得出A、C点的坐标是解题关键；利用等腰三角形的性质得出关于a的方程式解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用矩形的性质得出OD与EF的关系是解题关键，又利用了垂线段的性质．

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