题目

已知函数 ，其图象与x轴相邻的两个交点的距离为 . （1） 求函数 的解析式； （2） 若将 的图象向左平移 个长度单位得到函数 的图象恰好经过点 ，求当 取得最小值时， 在 上的单调区间. 答案： 解： f(x)=sin(2ωx−π6)−4sin2ωx+2 =32sin2ωx−12cos2ωx−4×1−cos2ωx2+2 =32sin2ωx+32cos2ωx =3sin(2ωx+π3) 由已知函数 f(x) 的周期 T=π ， 2π2ω=π ， ω=1 ∴ f(x)=3sin(2x+π3) . 解：将 f(x) 的图象向左平移 m(m>0) 个长度单位得到 g(x) 的图象 ∴ g(x)=3sin(2x+2m+π3) ， ∵函数 g(x) 的图象经过点 (−π3,0) ∴ 3sin[2×(−π3)+2m+π3]=0 ，即 sin(2m−π3)=0 ∴ 2m−π3=kπ ， k∈Z ∴ m=k2π+π6 ， k∈Z ∵ m>0 ，∴当 k=0 ， m 取最小值，此时最小值为 π6 此时， g(x)=3sin(2x+2π3) . 令 −π6≤x≤7π12 ，则 π3≤2x+2π3≤11π6 当 π3≤2x+2π3≤π2 或 3π2≤2x+2π3≤11π6 ，即当 −π6≤x≤−π12 或 5π12≤x≤7π12 时，函数 g(x) 单调递增 当 π2≤2x+2π3≤3π2 ，即 −π12≤x≤5π12 时，函数 g(x) 单调递减. ∴ g(x) 在 [−π6,7π12] 上的单调增区间为 [−π6,−π12] ， [5π12,7π12] ；单调减区间为 [−π12,5π12] .

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