题目

已知函数 ，且 图像的两条相邻的对称轴之间的距离为 . （1） 求 的解析式； （2） 求 在 上的最值. 答案： 解： f(x)=8[cosωxsin(ωx+π6)−cos2ωx] =8[cosωx(32sinωx+12cosωx)−cos2ωx] =23sin2ωx−2cos2ωx−2=4sin(2ωx−π6)−2 . 因为 f(x) 图像的两条相邻的对称轴之间的距离为 π2 ，所以 T=2×π2=π ，则 ω=1 . 故 f(x)=4sin(2x−π6)−2 . 解：因为 0≤x≤m ，所以 −π6≤2x−π6≤2m−π6 ， ①当 −π6<2m−π6<π2 ，即 0<m<π3 时， f(x)max=f(m)=4sin(2m−π6)−2 ， f(x)min=f(0)=4sin(−π6)−2=−4 ； ②当 π2≤2m−π6<7π6 ，即 π3≤m<2π3 时， f(x)max=f(π3)=4sin(2×π3−π6)−2=2 ， f(x)min=f(0)=4sin(−π6)−2=−4 ； ③当 7π6≤2m−π6<3π2 ，即 2π3≤m<5π6 时， f(x)max=f(π3)=4sin(2×π3−π6)−2=2 ， f(x)min=f(m)=4sin(2m−π6)−2 ； ④当 2m−π6≥3π2 ，即 m≥5π6 时， f(x)max=f(π3)=4sin(2×π3−π6)−2=2 ， f(x)min=f(5π6)=4sin(2×5π6−π6)−2=−6 . 综上， f(x)max={4sin(2m−π6)−2,0<m<π32,m≥π3 ， f(x)min={−4,0<m<2π34sin(2m−π6)−2,2π3≤m<5π6−6,m≥5π6 .

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