题目

如图（十七）所示，将二次函数y＝x2＋2x＋1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．函数y＝x2＋2x＋1的图象的顶点为点A．函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）． （1）求函数y＝ax2＋bx＋c的解析式； （2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率； （3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的，若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．      答案：解：（1）将抛物线y＝x2＋2x＋1沿x轴翻折得到：y＝－x2－2x－1， 将抛物线y＝－x2－2x－1，向右平移1个单位得到：y＝－x2, 将抛物线y＝－x2向上平移4个单位得到：y＝－x2＋4． 所求函数y＝ax2＋bx＋c的解析式为y＝－x2＋4．………………………………2分 （2）从A，C，D三个点中任选两个点和点B构造的三角形有：△BAC，△BAD，△BCD． A，B，C，D的坐标分别为(－1，0)，(0，4)，(2，0)，(－2，0)， 可求得AB＝，AC＝3，BC＝2，AD＝1，BD＝2，CD＝4， 只有△BCD为等腰三角形，所以构造的三角形是等腰三角形的概率P＝．…4分    （3）S△ABC＝AC·BO＝×3×4＝6．         ①当点N在边AC上时，点M在边BC上，在Rt△AMN中，MN⊥AC． 设点N的坐标为(m，0)，则AN＝m＋1，点M的横坐标为m． 由B(0，4)，C(2，0)易得线段BC的解析式为y＝－2x＋4，其中0≤x≤2， 所以点M的纵坐标为－2m＋4，则MN＝－2m＋4． S△AMN ＝AN·MN＝(m＋1)(－2m＋4) ＝S△ABC＝2． 解得m1＝1，m2＝0． 当m＝1时，N点的坐标为(1，0)，M点的坐标为(1，2)，AN＝2，MN＝2． tan∠MAN＝＝＝1．……………5分 当m＝0时，N点的坐标为(0，0)，M点与点B重合，坐标为(0，4)，AN＝1，MN＝4． tan∠MAN＝＝＝4．………………………………………………………6分         ②当点N在BC上时，点M在BC上，Rt△AMN中，MN⊥AN， 因为S△AMN＝S△ABC，所以AN·MN＝×BC·AN， 所以MN＝BC＝． 因为S△ABC＝BC·AN＝×2·AN＝6， 所以AN＝． 所以tan∠MAN＝＝＝．…………8分 ③当点N在AB上时，点M在BC上，Rt△AMN中，MN⊥AN． 设AN＝t，则BN＝–t， 过点A作AG⊥BC于点G，由②得AG＝． 在Rt△ABG中，BG＝＝． 易证△BNM∽△BGA， 所以＝，即＝， 求得MN＝， 所以S△AMN＝AN·MN＝t·＝2， 化简得3t2－3t＋14＝0，△＝(3)2－4×3×14＝－15＜0，此方程无解， 所以此情况不存在． 综上所述，当点N在AC上，点M与点B重合时，tan∠MAN＝4； 当点N在AC上，点M不与点B重合时，tan∠MAN＝1； 当点N在BC上时，tan∠MAN＝．…………………………10分 注：解答题用其它方法解答参照给分．    

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