题目

如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度． 答案：120 【解析】 本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题． 【详解】 连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示： 因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB， 由垂径定理得：AH=AM， 又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）． ∴∠OAH=∠OAM． 又∵OA=OB,AD=EB, ∴∠OAB=∠OBA=∠OAD, ∴△ODA△OEB（SAS）, ∴∠DOA=∠EOB, ∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB． 又∵∠C=60°以及同弧， ∴∠AOB=∠DOE=120°． 故本题答案为：120． 【点睛】 本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．

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