题目

如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与边AB，BC分别交于点D，E．过E的直线与⊙O相切，与AC的延长线交于点G，与AB交于点F． （1） 求证：△BDE为等腰三角形； （2） 求证：GF⊥AB； （3） 若⊙O半径为3，DF=1，求CG的长． 答案： 证明：∵四边形ACED是⊙O的内接四边形，∴∠ACB+∠ADE=180°，∵∠BDE+∠ADE=180°，∴∠BDE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∴∠B=∠BDE，∴△BDE为等腰三角形 证明：连结OE，∵直线FG与⊙O相切，∴∠OEG=90°，∵OC=OE，∴∠OEC=∠ACB，∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠OEC，∴OE∥AB，∴∠AFG=∠OEG=90°，即GF⊥AB 解：设CG=x．∵△BDE为等腰三角形，GF⊥AB，∴BF=DF=1，AF=AB﹣BF=AC﹣BF=5，∵OE∥AB，∴△GOE∽△GAF，∴ OEAF = OGAG ，∴ 35 = x+3x+6 ，解得x= 32 ，即CG= 32 ．

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