题目

  已知函数． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设两个极值点分别为，证明:． 答案：解：（Ⅰ）当时，； 函数的定义域为， 当时，；当时，. 所以，在上单调递减；在上单调递增.              ………………4分 (Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数的定义域为， 所以方程在有两个不同根. 即，方程在有两个不同根. （解法一）转化为，函数与函数 的图像在上有两个不同交点，如图.                      可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为， 只须.                                                ………………6分 令切点，所以，又，所以， 解得，，于是，                                所以.                                                ………………8分 （解法二）令，从而转化为函数有两个不同零点， 而（）                            若，可见在上恒成立，所以在单调增， 此时不可能有两个不同零点.                               ………………5分 若，在时，，在时，， 所以在上单调增，在上单调减， 从而                                ………………6分 又因为在时，，在在时，，于是只须： ，即，所以.                  ………………7分 综上所述，                                         ………………8分 （ⅱ）由（i）可知分别是方程的两个根， 即，， 不妨设，作差得，，即.     原不等式等价于         令，则，        ………………10分 设，， ∴函数在上单调递增，                   ∴， 即不等式成立，                       故所证不等式成立．                      ………………12分

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