题目

已知函数 ． （Ⅰ）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围； （Ⅱ）已知 ， ， .当 时， 有两个极值点 ， 且 ， 求 的最小值． 答案：解：（Ⅰ）由已知可得 f ( ′ x )   ≥ 0 在   [ 1 ， + ∞ ]   上恒成立．   ∵ f ( ′ x ) = 1 + 1 x 2 + a x = x 2 + a x + 1 x 2   ， ∴   x 2 + a x + 1 ≥ 0 恒成立，   ∴   a ≥ − x 2 − 1 x ， 记 φ ( x ) = − x 2 − 1 x = − ( x + 1 x ) ≤ − 2 ，当且仅当 x = 1 时等号成立． ∴   a ≥ − 2 ． （Ⅱ） h ( x ) = a l n x + 1 2 x 2 + m x   ．当 a = 1 时，由 h ( x ) = l n x + 1 2 x 2 + m x   ，   h ′ ( x ) = 1 x + x + m = x 2 + m x + 1 x ，由已知 x 2 + m x + 1 = 0   有两个互异实根 x 1 ， x 2 ，由根与系数的关系得 x 1 + x 2 = − m ， x 1 · x 2 = 1   ，   ∴ h ( x 1 ) − h ( x 2 ) = ( l n x 1 + 1 2 x 1 2 + m x 1 ) −   ( l n x 2 + 1 2 x 2 2 + m x 2 )   = 1 2 ( x 1 2 − x 2 2 ) + m ( x 1 − x 2 ) + l n x 1 − l n x 2 = 1 2 ( x 1 2 − x 2 2 ) − ( x 1 + x 2 ) ( x 1 − x 2 ) + l n x 1 − l n x 2 = − 1 2 ( x 1 2 − x 2 2 ) + l n x 1 x 2 = − 1 2 ( x 1 x 2 − x 2 x 1 ) + l n x 1 x 2 ． 令 t = x 1 x 2 ， ∴ t ∈ ( 0 ， 1 ) ． ∵ ( x 1 + x 2 ) 2 = x 1 2 + x 2 2 + 2 x 1 x 2 = m 2 ≥ 9 2 ， ， ∴ x 1 2 + x 2 2 x 1 x 2 = x 1 x 2 + x 2 x 1 ≥ 5 2 ． t + 1 t ≥ 5 2 ， ∴ t ∈ ( 0 ， 1 2 ) ． ∴ h ( x 1 ) − h ( x 2 ) = l n t − 1 2 ( t − 1 t ) = φ ( t ) ， ∴ φ ′ ( t ) = − ( t − 1 ) 2 2 t 2 < 0 ， ∴ φ ( t ) 单调递减， ∴ φ ( t ) m i n = φ ( 1 2 ) = 3 4 − l n 2 ．

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