题目

如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是A1B1、A1A的中点． （1） 求 的长； （2） 求cos（ • ）的值； （3） 求证A1B⊥C1M． 答案： 解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz． 依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），∴ |BN→|=(1−0)2+(0−1)2+(1−0)2=3 解：依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）． ∴ BA1→=(1,−1,2) ， CB1→=(0,1,2) ， BA1→⋅CB1→=3 ， |BA1→|=6 ， |CB1→|=5 ∴cos＜ BA1→ ⋅CB1→>=BA1→⋅CB1→|BA1→|⋅|CB1→|=11030 证明：依题意得C1（0，0，2），M (12,12,2) A1B→ =（﹣1，1，﹣2）， C1M→ = (12,12,0) ， ∴ A1B→⋅C1M→ = −12+12+0=0 ，∴ A1B→⊥C1M→

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