题目

已知集合的元素个数为个且元素为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即，，，，其中，，，若集合中的元素满足，，，则称集合为“完美集合”．（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值. 答案：解：对于集合 P={1,2,3} ，取 A={1},B={2},C={3} ，满足 P=A∪B∪C ， A∩B=ϕ ， A∩C=ϕ ， B∩C=ϕ ，且 a1+b1=c1 ，所以集合 P 为“完美集合”，若 Q={1,2,3,4,5,6} 为“完美集合”，则存在 A,B,C ，使得 P=A∪B∪C ， A∩B=ϕ ， A∩C=ϕ ， B∩C=ϕ ，设 A 中各元素的和为 M ， B 中各元素的和为 N ， C 中各元素的和为 L ，则有 M+N+L=1+2+3+4+5+6=21 且 M+N=L ，所以 L=212 ，它不是整数，矛盾，故 Q 不是“完美集合”. 解：因为 P={1,x,3,4,5,6} 为“完美集合”，由（1）可知 x≥7 ，根据定义可知 cn 为 P 中的最大元素，故 cn=x ，又 C 中各元素的和为 L=x+1+3+4+5+62=x+192 ，所以 C 的另一个元素为 19−x2 ，它是 1,3,4,5,6 中的某个数，因为 A,B 中各元素之和为 x+192 ，它必是 1,3,4,5,6 中去掉某个元素后余下4个元素的和，共有5种情形： 13,14,15,16,18 ，对应的 x 的值 7,9,11,13,17 . 当 x=7 时， C={6,7} ， A={1,3},B={5,4} ，满足；当 x=9 时， C={5,9} ， A={1,3},B={4,6} ，满足；当 x=11 时， C={4,11} ， A={1,5},B={3,6} ，满足；当 x=13 或 x=17 时， C={3,13} 或 C={1,17} ，余下任何两个元素的和不超过 11 ，故不满足定义要求，综上, x=7,9,11 .

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