题目

在四棱锥 中， ， ， 平面ABCD ， E为PD的中点， ． （1） 求四棱锥 的体积V； （2） 若F为PC的中点，求证 平面AEF； （3） 求证 平面PAB ． 答案： 解：在 Rt△ABC 中， AB=1 ， ∠BAC=60∘ ， ∴BC=3 ， AC=2 ． 在 Rt△ACD 中， AC=2 ， ∠ACD=60∘ ， ∴CD=23,AD=4 ． ∴SABCD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×1×3+12×2×23=523 ． 则 V=13×523×2=533 证明： ∵PA=CA ，F为PC的中点， ∴AF⊥PC ． ∵PA⊥ 平面ABCD， ∴PA⊥CD ， ∵AC⊥CD ， PA∩​AC=A ， ∴CD⊥ 平面PAC， ∴CD⊥PC ． ∵E 为PD中点，F为PC中点， ∴EF//CD ，则 EF⊥PC ， ∵AF∩​EF=F ， ∴PC⊥ 平面AEF 证明：延长DC，AB，设它们交于点N，连 PN.∵∠NAC=∠DAC=60∘ ， AC⊥CD ， ∴C 为ND的中点 .∵E 为PD中点， ∴EC//PN.∵EC⊄ 平面PAB， PN⊂ 平面PAB， ∴EC// 平面PAB．

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