题目

已知左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）的椭圆 过点 ，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点． （I）求椭圆C的离心率和标准方程．（II）圆 与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P1的直径，且直线F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）∵椭圆C过点 (3,32) ，∴ 3a2+34b2=1 ，① ∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，∵a2=b2+c2，∴ b2=34a2 ，②由①②得a2=4，b2=3，a=2，c=1，∴椭圆C的离心率 e=12 ，标准方程为 x24+y23=1 ． （Ⅱ）因为AB为圆P1的直径，所以点P1 (−437,337) 为线段AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则， {x1+x2=−837y1+y2=637 ，又 {x124+y123=1x224+y223=1 ，所以 (x1+x2)(x1−x2)4+(y1+y2)(y1−y2)3=0 ，则（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，故 kAB=y1−y2x1−x2=1 ，则直线AB的方程为 y=337=x+437 ，即 y=x+3 ． 代入椭圆C的方程并整理得 7x2+83x=0 ，则 x1=0,x2=−837 ，故直线F1R的斜率 k∈[3,+∞) ．设F1R：y=k（x+1），由 {y=k(x+1)x24+y23=1 ，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设P（x3，y3），Q（x4，y4），则有 x3+x4=−8k23+4k2 ， x3x4=4k2−123+4k2 ．又 |PF1|=1+k2|x3+1| ， |QF1|=1+k2|x4+1| ，所以|PF1||QF1|=（1+k2）|x3x4+（x3+x4）+1|= (1+k2)93+4k2=94(1+13+4k2) ，因为 k≥3 ，所以 94<94(1+13+4k2)≤125 ，即|PF1||QF1|的取值范围是 (94,125]

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