题目

如图， 为圆 的直径，点 ， 在圆 上， ，矩形 和圆 所在的平面互相垂直，已知 ， ．（Ⅰ）求证：平面 平面 ；（Ⅱ）当 的长为何值时，二面角 的大小为 ． 答案：解：（Ⅰ）∵平面 ABCD⊥ 平面 ABEF,CB⊥AB ，平面 ABCD∩ 平面 ABEF=AB ，∴ CB⊥ 平面 ABEF ，∵ AF⊂ 平面 ABEF ，∴ AF⊥CB ，又∵ AB 为圆 O 的直径，∴ AF⊥BF ，∴ AF⊥ 平面 CBF ，∵ AF⊂ 平面 ADF ，∴平面 DAF⊥ 平面 CBF（Ⅱ）设 EF 中点为 G ，以 O 为坐标原点， OA、OG、AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设 AD=t(t>0) ，则点 D 的坐标为 (1,0,t) ，则 C(−1,0,t) ，又 A(1,0,0),B(−1,0,0),F(12,32,0) ，∴ CD→=(2,0,0),FD→=(12,−32,t) ，设平面 DCF 的法向量为 n1=(x,y,z) ，则 n1CD→=0,mFD→=0 ，即 {2x=0−32y+tz=0 ，令 z=3 ，解得 x=0,y=2t ．∴ n1=(0,2t,3) ．由（1）可知 AF⊥ 平面 CFB ，取平面 CBF 的一个法向量为 n2=AF=(−12,32,0) ，∴ cos600=|n1·n2||n1||n2| ，即 12=|3t|4t2+3 ，解得 t=64 ，因此，当 AD 的长为 64 时，平面 DFC 与平面 FCB 所成的锐二面角的大小为60°

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