题目

如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE. （1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数. （3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H.若∠ACH＝∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系. 答案：证明：∵EM⊥CE，∴∠CEM=90°.∵∠AEC+∠CEM+∠BEM=180°，∴∠AEC+∠BEM=90°.∵AB//CD，∴∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM.∴∠ECD+∠CME=90°.∴2∠ECD+2∠CME=180°.∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD.∴∠ACD+2∠CME=180°.∵AB//CD，∴∠ACD+∠A=180°.∴∠A=2∠CME. 解：过点F作FM//AB，如图，∵AB//CD，∴FM//AB//CD.∴∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF.∴∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF.即∠AFC=∠BAF+∠DCF.∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，∴∠CAB=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF.∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC.∵∠AFC=70°，∴∠CAB+∠DCE=140°.∵AB//CD，∴∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°.∴∠ACE=180°−(∠CAB+∠DCE)=180°−140°=40°. 解：∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB=135°−∠A.延长CM交AN的延长线于点F，如图，∵MN⊥CM，∴∠NMF=90°.∴∠MNB=90°−∠F.同理：∠HCF=90°−∠F.∴∠MNB=∠HCF.∵∠ACH=12∠ECH，∴设∠ACH=x，则∠ECH=2x.∵CM平分∠DCE，∴设∠ECM=∠DCM=y.∴∠MNB=∠HCF=2x+y.∵AB//CD，CH⊥AB，∴CH⊥CD.∴∠HCD=90°.∴∠ECH+∠ECD=90°.∴2x+2y=90°.∴x+y=45°.∵CH⊥AB，∴∠A=90°−∠ACH=90°−x.∴∠A+∠MNB=90°−x+2x+y=90°+x+y=135°.∴∠MNB=135°−∠A.

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