题目

已知椭圆的左、右顶点分别为 ， 且过点 ． （1） 求C的方程； （2） 若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程． 答案： 解：因为|A1A2|=4，所以2a=4，解得a=2．因为C过点(2，62)，所以(2)24+(62)2b2=1，解得b=3．所以C的方程为x24+y23=1． 证明：由题意，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则lA1M：y=y1x1+2(x+2)，lA2N：y=y2x2−2(x−2)．由{y=k(x−4)x24+y23=1，整理得(3+4k2)x2−32k2x+64k2−12=0，则Δ=(−32k2)2−4(3+4k2)(64k2−12)>0，解得−12<k<12且k≠0，x1+x2=32k23+4k2，x1x2=64k2−123+4k2．由{y=y1x1+2(x+2)y=y2x2−2(x−2)得：x=2y2x2−2+2y1x1+2y2x2−2−y1x1+2=2k(x2−4)(x1+2)+2k(x1−4)(x2−2)k(x2−4)(x1+2)−k(x1−4)(x2−2)=2x1x2−6x1−2x23x2−x1−8=2x1x2−2(x1+x2)−4x13(x1+x2)−8−4x1=2×64k2−123+4k2−2×32k23+4k2−4x13×32k23+4k2−8−4x1=1，所以点G在定直线x=1上．

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