题目

已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ， （1） 求椭圆 的方程； （2） 过椭圆 上的点 的直线 与 ， 轴的交点分别为 ， ，且 ，过原点 的直线 与 平行，且与 交于 ， 两点，求 面积的最大值． 答案： 解： ∵ 点 P 在椭圆上且 2a=4 ， ∴a=2 ， 又椭圆离心率为 32 ， ∴c=3 ， 由 a2=b2+c2 解得 b2=1 ．   ∴ 椭圆的标准方程为： x24+y2=1 解：点 A 在椭圆上， ∴ x024+y02=1 ，即 x02+4y02=4 ， 设经过点 A 的直线方程为： y−y0=k(x−x0) ， 可得 M(x0−y0k，0) ， N(0，y0−kx0) ． ∵ AN→=2MA→ ， ∴ −x0=2y0k 即 k=−2y0x0 ．直线 MN 斜率为 k=−2y0x0 ， ∵ BD∥l ， ∴BD 方程为 y=−2y0x0x ，即 2y0x+x0y=0 ， 联立 {y=−2y0x0xx24+y2=1 ， 解得 x2=4x02x02+16y02 ，∴ |x|=2|x0|x02+16y02 ， ∴ |BD|=21+4y02x02⋅2|x0|x02+16y02=8x02+16y02 ， 点 A 到直线 BD 的距离为 d=|2y0x0+x0y0|4y02+x02=3|x0y0|2 ，   S△ABCD=12|BD|⋅d=6|x0y0|x02+16y02​=61y02+16x02​ ，  1y02+16x02=(1y02+16x02)(x024+y02)=5+x024y02+16y02x02⩾9 1y02+16x02⩾3， 0<61y02+16x02⩽2 ， ∴S△ABD⩽2 ， 三角形 ABD 面积的最大值为2，当且仅当 x024y02=2 ，即 x0=±83 时，等号成立． 解法二：设 M(m，0) ， N(0，n) ，则 {x0=2m3y0=n3 ， A(x0，y0) 满足曲线 x024+x02=1 上，则 （2m3）2+4(n3)2=4 ， 化简得， m2+n2=9 ．直线的 l 方程为 xm+yn=1 ，即 l：nx+my−mn=0 ， 原点到 (0，0) 直线 l 的距离为 d=|mn|m2+n2 ，易得直线的 m 方程为 nx+my=0 ，设 B(x1，y1) ， D(x2，y2) ， 联立方程组： {nx+my=0x2+4y2=4 ，化简得 (m2+4n2)x2−4m2=0 ， 则 |BD|=1+(−nm)2⋅(x1+x2)2−4x1x2 =m2+n2m2⋅16m2m2+4n2 =4m2+n2m2+4n2 ， S△ABC=12⋅|BD|⋅d=12⋅4m2+n2m2+4n2⋅|mn|m2+n2 =2|mn|m2+4n2=2m2n2m2+4n2=211n2+4m2 ， 又 1n2+4m2=19(1n2+4m2)(m2+n2) =19(5+m2n2+4n2m2)≥19(5+2m2n2⋅4n2m2)=1 ，   ∴S△ABD⩽2 ，三角形 ABD 面积的最大值为2， 当且仅当 m2=2n2 时， x024y02=2 ，即 x0=±83 时，等号成立．

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