题目

已知数列 的前 项和为 ，且 ．公比大于 的等比数列 的首项为 ，且 ． （1） 求 和 的通项公式； （2） 若 ，求证： ， ． 答案： 解：数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn=n2+n2 ， 当 n=1 时， a1=S1=1+12=1 ， 当 n≥2 时， an=Sn−Sn−1=n2+n2−(n−1)2+(n−1)2=n ， 经检验， a1=1 满足 an=n ， 所以，数列 {an} 的通项公式为 an=n ； 设 {bn} 的公比为 q(q>0) ， b2+b3=20 即 b1q+b1q2=20 ， 将 b1=1 代入 b1q+b1q2=20 ，得 q2+q−20=0 (q>0) ， 解得 q=4 ， 所以，数列 {bn} 的通项公式为 bn=4n−1 . 解： cn=(an)2bn=n24n−1 ， 当 n≥2 时， cn+1cn=(n+1)24nn24n−1=(n+1)24n2=(1+1n)24≤916 ， 即 cn+1≤916cn ， ∵c1=c2=1 ， c3=916 ， ∴ 当 n≥2 时， cn≤(916)n−2 ， ∴c1+c2+c3+…+cn ≤1+1+916+(916)2+…+(916)n−2 =1+1−(916)n−11−916   =1+167[1−(916)n−1]   <1+167=237<72   ∴c1+c2+c3+…+cn<72,(n∈N*)

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