题目

已知函数 . （1） 求 的单调区间与极值； （2） 当函数 有两个极值点时，求实数a的取值范围. 答案： 解：由 f(x)=lnx+1x+1(x>0) ， 则 f′(x)=1x−1x2=x−1x2 ， 令 f′(x)=0 ，则 x=1 ， 令 f′(x)>0 ，即 x−1x2>0 ，解得 x>1 ， 所以函数 f(x) 的单调递增区间为 (1,+∞) ； 令 f′(x)<0 ，即 x−1x2<0 ，解得 0<x<1 ， 所以函数 f(x) 的单调递减区间为 (0,1) ； 因为函数 f(x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+∞) 上单调递增， 所以函数在 x=1 处取得极小值， f(x) 极小值 =f(1)=2 ，无极大值. 综上所述，单调递增区间为 (1,+∞) ；单调递减区间为 (0,1) ； f(x) 极小值为2，无极大值； 解：由 g(x)=(x+1)lnx−a(x−1) ， 则 g′(x)=(x+1)′lnx+(x+1)(lnx)′−a=lnx+x+1x−a ， 若 g(x) 有两个极值点，则 g′(x)=0 有两个根 即 lnx+x+1x−a=0 有两解，即 lnx+x+1x=a ， 即 f(x)=lnx+x+1x=lnx+1x+1 与 y=a 有两个交点， 由（1）可知 f(x) 在 (0,1) 上单调递减；在 (1,+∞) 上单调递增， x→+∞,lnx→+∞,1x→0 ，所以 f(x)=lnx+1x+1→+∞ ； 考虑函数 h(x)=xlnx=lnx1x ， x→0+,lnx→−∞,1x→+∞ ， 由洛必达法则： limx→0+(xlnx)=limx→0+(lnx1x)=limx→0+(1x−1x2)=limx→0+(−x)=0 ， f(x)=lnx+x+1x=xlnx+1x+1 ， limx→0+(xlnx+1)=1 ， x→0+,xlnx+1x→+∞,f(x)→+∞ 所以若 f(x) 与 y=a 有两个交点，则 a>2 ．

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