题目

已知 . （1） 求 的单调区间； （2） 证明： . 答案： 因为 f(x)=tanx+2sinx−3x，x∈(−π2，π2) ， 所以 f′(x)=1cos2x+2cosx−3 因为 x∈(−π2，π2) ，所以 cosx∈(0，1] ， 所以 f′(x)=1cos2x+2cosx−3=1cos2x+cosx+cosx−3≥31cos2x×cosx×cosx3−3=0 当且仅当 1cos2x=cosx=cosx ，即 cosx=1 ， x=0 时取得. 所以 f′(x)≥0 ，所以 f(x) 在 (−π2，π2) 上单调递增，即 f(x) 在 (−π2，π2) 的单增区间为 (−π2，π2) ，无单减区间. ∵ n∈N∗ ，∴ 1n∈(−π2，π2) 且 1n>0 . 因为 f(x) 在 (−π2，π2) 上单调递增，所以 f(1n)>f(0)=0 ， 即 tan1n+2sin1n−3n>0 ， ∵ 0<1n<π2 ，∴ cos1n>0 ， ∴ sin1n+2sin1ncos1n−3ncos1n>0 ，即 sin1n+sin2n>3ncos1n(n∈N*) . 即证.

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