题目

设函数 ． （1） 若 ，解不等式 ； （2） 是否存在常数 时，使函数在 上的值域为 ，若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由. 答案： 若 a=12 ， fx=log12x−2x+2 ． ， 要使f(x)有意义，则x-2x+2>0 ，即(x-2)(x+2)>0， 解得x<-2或x>2， f(x)>-1等价于log12x−2x+2>-1=log122 ， 所以x−2x+2<2 ，即x+6x+2>0 ， 解得： x<-6或 x>-2， 综上所述：x<-6 或x>2， 所以不等式的解集为x|x<-6或x>2 ； f(x)=logax−2x+2(0<a<1) 是由y=logat和t=x-2x+2复合而成， 因为0<a<1，所以y=logat在定义域内单调递减， 因为t=x-2x+2=x+2-4x+2=1-4x+2在(2，+∞)单调递增， 所以f(x)=logax−2x+2在(2，+∞)单调递减， 因为 m，n∈（2，+∞），所以[m，n]⊆2，+∞ ， 所以f(x)=logax−2x+2在[m，n]单调递减， 若函数在[m，n]上的值域为 [logaa(n−1)，logaa(m−1)] ， 则logam-2m+2=logaam-1logan-2n+2=logaan-1 ， 所以m，n是方程logax−2x+2=logaax-1在(2，+∞)上的两个不同的根， 因为logax−2x+2=logaax-1，所以 x−2x+2=ax-1，x∈2，+∞， 所以m，n是方程x−2x+2=ax-1 在(2，+∞)上的两个不同的根 即m，n是方程ax2+(a-1)x-2a+2=0在(2，+∞)上的两个不同的根， 所以∆=(a-1)2-4a(-2a+2)>0即9a2-10a+1>0 ，解得a<19或a>1， 由根与系数的关系可得：m+n=-a-1a，mn=-2a+2a 因为n>m>2 ， 所以m+n=-a-1a>4mn=-2a+2a>40<a<1 ， 解得 a<15a<130<a<1，所以 0<a<15， 综上所述： 0<a<19 所以a的取值范围为 0<a<19 .

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