题目

已知函数 ， （ 且 ） （1） 判断函数 的奇偶性，并说明理由； （2） 当 时，直接写出函数 的单调区间（不需证明） （3） 若 ，求a的取值范围． 答案： 解：根据题意，函数 f(x)=loga(1+x) ， g(x)=loga(1−x) ， 则 f(x)+g(x)=loga(1+x)+loga(1−x) ， 必有 {1+x>01−x>0 ，解可得 −1<x<1 ，即函数的定义域为 (−1,1) ； 又由 f(−x)+g(−x)=loga(1−x)+loga(1+x)=f(x)+g(x) ， 则函数 f(x)+g(x) 为偶函数 解：根据题意， f(x)+g(x)=loga(1−x)+loga(1+x)=loga(1−x2) ， 又由 0<a<1 ，其递增区间为 (0,1) ，递减区间为 (−1,0) 解：根据题意，若 f(1)+g(58)<1 ，即 loga2+loga38=loga34<1 ， 当 a>1 时， loga34<0 ，符合题意； 当 0<a<1 时， loga34>0 ，若 loga34<1 ，即 loga34<logaa ，解可得： 0<a<34 ， 此时 a 的取值范围 (0,34) ， 综合可得： a 的取值范围为 (0,34)∪(1,+∞) ．

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