题目

已知函数 （ 为自然对数的底数）. （1） 求函数 的极值； （2） 问：是否存在实数 ,使得 有两个相异零点？若存在,求出 的取值范围；若不存在,请说明理由. 答案： 解：因为 f(x)=aex−x−a ,所以 f′(x)=aex−1 . ①当 a≤0 时， f′(x)=aex−1<0 ， 所以 x∈(−∞,+∞) 时, f′(x)<0 ,所以函数 f(x) 在 (−∞,+∞) 上单调递减. 此时，函数 f(x) 无极值. ②当 a>0 时,令 f′(x)=aex−1=0 ，得 x=−lna , 当 x∈(−∞,−lna) 时, f′(x)<0 ,所以函数 f(x) 在 (−∞,−lna) 上单调递减； 当 x∈(−lna,+∞) 时, f′(x)>0 ,所以函数 f(x) 在 (−lna,+∞) 上单调递增. 此时,函数 f(x) 有极小值为 f(−lna)=lna−a+1 ,无极大值. 解：存在实数 a ,使得 f(x) 有两个相异零点. 由(1)知：①当 a≤0 时,函数 f(x) 在 (−∞,+∞) 上单调递减； 又 f(0)=0 ,所以此时函数 f(x) 仅有一个零点； ②当 0<a<1 时， −lna>0 . 因为 f(0)=0 ,则由（1）知 f(−lna)<0 ； 取 f(−2lna)=1a+2lna−a(0<a<1) ,令 g(a)=1a+2lna−a , 易得 g′(a)=−1a2+2a−1=−(a−1)2a2<0 ,所以 g(a) 在 (0,1) 单调递减, 所以 g(a)>g(1)=0 ,所以 f(−2lna)=1a+2lna−a>0 . 此时,函数 f(x) 在 (−lna,−2lna) 上也有一个零点. 所以,当 0<a<1 时,函数 f(x) 有两个相异零点. ③当 a=1 时, −lna=0 , f(x)≥f(0)=0 ， 此时函数 f(x) 仅有一个零点. ④当 a>1 时, −lna<0 ,因为 f(0)=0 ,则由(1)知 f(−lna)<0 ； 令函数 h(a)=a−lna(a>1) ,易得 h′(a)=1−1a>0(a>1) , 所以 h(a)>h(1)=0 ,所以 a>lna ,即 −a<−lna . 又 f(−a)=ae−a>0 ,所以函数 f(x) 在 (−a,−lna) 上也有一个零点, 所以,当 a>1 时,函数 f(x) 有两个相异零点. 综上所述,当 a∈(0,1)∪(1,+∞) 时,函数 f(x) 有两个相异零点.

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