题目

已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆 的左焦点 且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆 于 两点，且椭圆 截直线 所得弦长为 . （1） 求椭圆 的方程； （2） 线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求点 横坐标的取值范围； （3） 试问在 轴上是否存在一点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 答案： 解：由题意椭圆过点 (c，22) ， 所以 {ca=22c2a2+12b2=1 ，解得 {a2=2b2=1c2=1 ， 所以椭圆方程为 x22+y2=1. 解：设直线 MN 的方程为 y=k(x+1)(k≠0) ， 由 {y=k(x+1)x22+y2=1 ， 消去 y 整理得 (2k2+1)x2+4k2x+2k2−2=0，Δ>0 ， 设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(xp，yP)，MN 的中点 R(xR，yR) ， 则 x1+x2=−4k22k2+1，x1⋅x2=2k2−22k2+1 ， 所以 xR=x1+x22=−2k22k2+1，yR=k(xR+1)=k(−2k22k2+1+1)=k2k2+1 ， MN 的垂直平分线 RP 的方程为 y−yR=−1k(x−xR) ， 令 y=0 得 xp=xR+kyR=−2k22k2+1+k22k2+1=−k22k2+1=−12+14k2+2 ， 因为 k≠0 ， 所以 −12<xp<0 ， 所以点 P 的横坐标的取值范围为 (−12，0) 解：假设存在，设 Q(xQ，0) . 结合第（2）问知： x1+x2=−4k22k2+1，x1⋅x2=2k2−22k2+1 ， 所以 y1⋅y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1) =k2⋅(−4k22k2+1+2k2−22k2+1+1)=−k22k2+1 所以 QM→⋅QN→=(x1−xQ，y1)⋅(x2−xQ，y2)=x1⋅x2−xQ(x1+x2)+x02+y1⋅y2 =2k2−22k2+1−xQ⋅−4k22k2+1+xQ2+−k22k2+1 =(2xQ2+4xQ+1)k2+xQ2−22k2+1 设 (2xQ2+4xQ+1)k2+xQ2−22k2+1=λ 则 (2xQ2+4xQ+1−2λ)k2+xQ2−2−λ=0 对任意 k≠0 恒成立， 所以 {2xQ2+4xQ+1−2λ=0xQ2−2−λ=0 ， 解得 {xQ=−54λ=−716 ， 所以存在点 Q(−54，0) ，使得 QM→⋅QN→ 为定值 −716.

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