题目

已知数列 的前n项和为 ， ，当 时， .数列 满足 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 求数列 的通项公式； （3） 若数列 的前 项和为 ，求证： . 答案： 解：因为 Sn=2Sn−1+1 ， 故当 n≥3 时， Sn−1=2Sn−2+1 ， 故可得 an=2an−1 ； 又因为 a1=1 ， a1+a2=2a1+1 ，解得 a2=2 . 故数列 {an} 是首项为 1 ，公比为2的等比数列， 则 an=2n−1 . 解：因为 b1an+b2an−1+…+bna1=2n−2+12n−1 ，① 故可得当 n≥2 时， b1an−1+b2an−2+⋯bn−1a1=2n−4+12n−2 两边同乘以 12 ， 则 b1an+b2an−1+⋯+bn−1a2=n−2+12n−1 ② ① - ②可得： bna1=n ，则 bn=n . 又当 n=1 时， b1a1=1 ，故可得 b1=1 ， 故 bn=n . 解：由（1）可知，数列 {an} 是首项为1，公比为2的等比数列， 故可得 Sn=1−2n1−2=2n−1 ； 又因为 bn+1−bn=1 ，故数列 {bn} 是首项为1，公差为1的等差数列， 故可得 Tn=n(n+1)2 ， 又 Sn−Tn=2n−12n2−12n−1 . 令 h(x)=2x−12x2−12x−1,h'(x)=2xln2−x−12 ， h''(x)=(ln2)22x−1 ， 因 h''(x) 为单调增函数，且 h''(1)<0,h''(2)>0 ， 故存在 x0∈(1,2) ，使得 h''(x0)=0 ， 故当 x∈(1,x0) 时 h'(x) 单调递减，当 x∈(x0,+∞) 时 h'(x) 单调递增. 又因为 h'(1)=2ln2−32<0,h'(2)=4ln2−52>0 ， 故存在 x1∈(1,2) ，使得 h'(x)=0 ， 故当 x∈(1,x1) 时 h(x) 单调递减，当 x1∈(x1,+∞) 时 h(x) 单调递增. 又因为 h(1)=2−12−12−1=0,h(2)=22−2−1−1=0 ， 故可得 h(1)=0,h(2)=0 ，当 x>2 时 h(x)>0 ， 故当 x∈N+ 时， h(x)≥0 ， 即 Sn−Tn=2n−12n2−12n−1≥0 . 故 Sn≥Tn ，即证.

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