题目

已知D（x0 ， y0）为圆O：x2+y2=12上一点，E（x0 ， 0），动点P满足 = + ，设动点P的轨迹为曲线C． （1） 求曲线C的方程； （2） 若动直线l：y=kx+m与曲线C相切，过点A1（﹣2，0），A2（2，0）分别作A1M⊥l于M，A2N⊥l于N，垂足分别是M，N，问四边形A1MNA2的面积是否存在最值？若存在，请求出最值及此时k的值；若不存在，说明理由． 答案： 解：由题意设P（x，y），则 OP→ = 12(0，y0) + 33 （x0，0）= (33x0，y02) ．∴ x=33x0 ，y= y02 ，解得x0= 3 x，y0=2y，又 x02 + y02 =12，代入可得：3x2+4y2=12，化为： x24+y23 =1． 联立 {y=kx+m3x2+4y2=12 ，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）=0，可得：m2=3+4k2．A1（﹣2，0）到l的距离d1= |−2k+m|1+k2 ，A2（2，0）到l的距离d2= |2k+m|1+k2 ，则|MN|2= |A1A2|2 ﹣ |d1−d2|2 =16﹣[ (2k−m)21+k2 + (2k+m)21+k2 ﹣ 2|4k2−m2|1+k2 ]=16﹣ (2m2+8k21+k2−61+k2) =16﹣ (6+16k21+k2−61+k2) =16﹣ 16k21+k2 = 161+k2 ．d12+d22 = (2k−m)21+k2 + (2k+m)21+k2 + 2|4k2−m2|1+k2 = 6+16k21+k2+61+k2 = 12+16k21+k2 ．∴四边形A1MNA2的面积S= (d1+d2)|MN|2 = 1212+16k21+k2⋅161+k2 =4 3+4k2(1+k2)2 =4 4−(11+k2−2)2 ≤4 3 ．当k=0时，取等号．

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