题目

已知二次函数 . （1） 若 ， ，求方程 的根的判别式的值； （2） 如图所示，该二次函数的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 在线段 上，连接 、 ，满足 ， . ①求证： ； ②连接 ，过点 作 于点 ，点 在 轴的负半轴上，连接 ，且 ，求 的值. 答案： 解：当 a=12 ， b=c=−2 时，方程为： 12x2−2x−2=0 ， Δ=b2−4ac=(−2)2−4×12×(−2)=8 解：①证明：∵ x1+x2=−ba ，且 −ba+c=x1 ， ∴ x2=−c ， ∴ OC=OB=|c| ， 在 △AOC 与 △DOB 中， {∠ACO=∠ABDOC=OB∠AOC=∠DBO=90∘   ， ∴ △AOC≅△DOB(ASA) . ②解： ∠ACO=∠CAF+∠CBD ， ∠ACO=∠CFA+∠CAF ， ∴ ∠CFA=∠CBD ， ∵ DE⊥BC ， ∴ ∠DEB=90∘ ， 又∵ ∠AOF=90∘ ， ∴ △AOF∼△DEB ， ∴ AODE=OFEB ， ∵ OC=OB=|c| ，且 ∠COB=90∘ ， ∴ ∠OCB=45∘ ， BC=2OB=−2c ， 在 Rt△DEC 中， ∠OCB=45∘ ， ∴ DC=2DE=2CE ， 又∵ △AOC≅△DOB ， ∴ OD=OA=−x1 ， 又∵ OC=OD+DC ， ∴ DC=−c+x1 ， DE=CE=22DC=22(−c+x1) ， ∴ EB=BC−CE=−2c−22(−c+x1)=−22(c+x1) ， ∵ AODE=OFEB ， ∴ −x122(−c+x1)=−(x1−x2)−22(c+x1) ， 即： (cx1)2−cx1−2=0 ， ∴ cx1 =2或 cx1 =-1（舍）

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