题目

已知椭圆的长轴长为4，左顶点为A，点在椭圆上. （1） 求椭圆C的方程及离心率； （2） 设直线l与椭圆C交于不同两点M，N（不同于A），且直线AM与AN的斜率之积为 ， 求A在l上的射影H的轨迹方程. 答案： 解：因为椭圆C的长轴长为4，所以2a=4，a=2.又点P(1，32)在椭圆上，所以14+94b2=1，解得b=3，c=1.故椭圆C的方程为x24+y23=1.椭圆C的离心率e=12. 解：当直线l垂直于y轴时，直线AM，AN的斜率乘积为正，与已知矛盾.故可设l的方程为x=ty+m(m≠−2)，代入3x2+4y2=12，整理得(3t2+4)y2+6mty+3(m2−4)=0.设M(ty1+m，y1)，N(ty2+m，y2)，则y1+y2=−6mt3t2+4，y1⋅y2=3(m2−4)3t2+4.（※）因为A(−2，0)，由kAM⋅kAN=−12，得y1⋅y2(ty1+m+2)(ty2+m+2)=−12.整理得(t2+2)y1y2+(m+2)t(y1+y2)+(m+2)2=0.将（※）式代入，得3(m2−4)(t2+2)−6m(m+2)t2+(m+2)2(3t2+4)=0.因为m≠−2，化简得3(m−2)(t2+2)−6mt2+(m+2)(3t2+4)=0.化简得3(m−2)+2(m+2)=0，解得m=25（此时Δ>0恒成立），所以直线l经过定点P(25，0)又因为PH⊥AH，所以H的轨迹是以PA为直径的圆（除去点A）故点H的轨迹方程为(x+45)2+y2=3625(x≠−2).

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