题目

已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点A(0，5)、B(1，2)、C(3，2). （1） 求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标； （2） 结合图象，回答下列问题： ①当1≤x≤4时，y的取值范围是； ②当m≤x≤m+3时，求y的最大值（用含m的代数式表示）； ③是否存在实数m、n（m≠n），使得当m≤x≤n时，m≤y≤n？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由. 答案： 解：设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），则 {c=5a+b+c=29a+3b+c=2 ， 解得， {a=1b=−4c=5 ， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5， 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … 描点、连线， 【1】①1≤y≤5； ②∵二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+5， ∴对称轴为x＝2， 当2﹣m≤m+3﹣2，即m≥ 12 时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m+3时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝（m+3）2﹣4（m+3）+5＝m2﹣+2m+2； 当2﹣m＞m+3﹣2，即m＜ 12 时，则在m≤x≤m+3内，当x＝m时，y有最大值为y＝x2﹣4x+5＝m2﹣4m+5； ③由已知可得图象过（a，a）点， ∴a＝a2﹣4a+5， 解得，a＝ 5±52 ， ∵当m≤x≤n时，m≤y≤n， ∴可以取m＝ 5−52 ，n＝ 5+52 .

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